진리표

1. 개념

• 진리표: 복합 명제의 진리값이 단순 명제의 진리값에 의해 결정되는 모든 경우를 나열한 표이다.
• 여기서 사용하는 p, q, r ... 같은 기호는 구체적인 문장이 아니라 명제의 형식을 나타내는 명제 변수이다.
• 진리표를 통해 논리 연결사의 의미를 정확하게 확인할 수 있다.

2. 논리 연결사와 진리표

2-1. 부정 ~p

• 어떤 명제가 참이면 그 부정은 거짓
• 어떤 명제가 거짓이면 그 부정은 참

p	~p
T	F
F	T

즉, 부정은 원래 명제의 진리값을 반대로 뒤집는다.

2-2. 연언 p ∙ q

• 두 명제가 모두 참일 때만 참
• 하나라도 거짓이면 전체는 거짓

p	q	p∙q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

연언은 흔히 “그리고”에 해당하며, 조건이 모두 충족되어야 한다.

2-3. 선언 p ∨ q

• 두 명제 중 적어도 하나가 참이면 참
• 둘 다 거짓일 때만 거짓

p	q	p∨q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

여기서 선언은 배타적 의미가 아니라 포괄적 의미의 또는이다.

2-4. 조건 p ⊃ q

• 전건 p가 참이고 후건 q가 거짓일 때만 거짓
• 그 외의 경우는 모두 참

p	q	p⊃q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

전건이 거짓이면 후건이 무엇이든 전체 조건문은 참 예: “네가 시험에서 100점을 받는다면, 새 휴대폰을 사주겠다” 같은 문장은 실제로 100점을 받지 않았다면 약속 위반 여부를 따질 수 없으므로 논리적으로 참으로 간주된다.

2-5. 쌍조건 p ≡ q

• 두 명제의 진리값이 같으면 참
• 다르면 거짓

p	q	p≡q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

즉, “p이면 q이고 q이면 p이다”와 비슷한 관계를 진리값 기준으로 표현한다.

3. 진리 함수적 성격

명제 논리의 언어는 진리 함수적이다.

• 복합 명제의 진리값은 전적으로 그 구성 요소인 단순 명제들의 진리값에 의해 결정된다.
• 따라서 단순 명제들의 참·거짓이 주어지면 복합 명제의 진리값도 계산할 수 있다.

명제 논리에서는 문장의 실제 내용보다 형식과 진리값의 결합 방식이 중요하다

4. 복합 명제의 진리값 계산

1. 가장 안쪽 괄호부터 계산
2. 부정 기호 처리
3. 연언, 선언, 조건, 쌍조건 순서로 구조 파악
4. 각 중간 결과를 다시 이용해 최종 진리값 결정

즉복합 명제 풀이의 본질은 식을 작은 단위로 쪼개어 진리표 규칙을 반복 적용하는 것이다.

5. 진리표의 행 개수

진리표는 단순 명제의 가능한 모든 진리값 조합을 다 보여주어야 한다.

• 단순 명제가 n개이면
• 필요한 행의 수는 2ⁿ개

예를 들어,

• 1개면 2행
• 2개면 4행
• 3개면 8행
• 4개면 16행

이 원리는 진리표 작성의 가장 기본적인 구조다.

6. 명제의 종류

진리표의 최종 열을 보고 명제를 분류할 수 있다.

6-1. 우연적 명제

• 최종 결과에 참인 줄도 있고 거짓인 줄도 있는 경우

즉, 경우에 따라 참일 수도 있고 거짓일 수도 있는 명제다.

6-2. 동어 반복적 명제

• 최종 결과의 모든 줄이 참인 경우
• 논리적으로 반드시 참인 명제
• 영어로는 tautology

6-3. 자기 모순적 명제

• 최종 결과의 모든 줄이 거짓인 경우

즉, 어떤 경우에도 참이 될 수 없는 명제다.

7. 명제들 사이의 관계

진리표는 개별 명제의 참·거짓뿐 아니라 두 명제 사이의 관계도 분석할 수 있게 해 준다. 방법은 각 명제의 진리표를 만든 뒤, 최종 결과 열끼리 비교하는 것이다.

7-1. 논리적 동치

• 두 명제의 최종 진리값이 모든 줄에서 동일할 때

예: P⊃Q, ~(P∙~Q), ~P∨Q가 서로 같은 의미를 가지는 표현으로 제시된다. 즉, 조건문은 다른 형태로 변환 가능하다.

7-2. 모순 관계

• 두 명제의 최종 진리값이 모든 줄에서 정확히 반대일 때

한쪽이 참이면 다른 쪽은 반드시 거짓이 된다.

7-3. 일관성이 있는 관계

• 논리적 동치도 아니고 모순도 아니지만,
• 적어도 한 줄에서 동시에 참이 될 수 있을 때

즉, 둘이 함께 성립 가능한 경우가 있다.

7-4. 일관성이 없는 관계

• 두 명제가 동시에 참이 될 수 없을 때

모순 관계이면 일관성이 없는 관계이기도 하지만,
일관성이 없는 관계라고 해서 항상 모순 관계인 것은 아니다

8. 정리

8-1. 조건문의 해석

가장 자주 헷갈리는 부분은 p ⊃ q다.

• 거짓이 되는 경우는 오직 p가 참이고 q가 거짓일 때
• 나머지는 모두 참

특히 p가 거짓이면 q와 무관하게 참이라는 점이 중요하다.

8-2. 진리표는 형식 분석 도구

진리표는 문장의 실제 내용이 아니라, 논리 형식을 다룬다.
그래서 같은 구조를 가진 문장들은 동일한 방식으로 분석된다.

8-3. 최종 열이 가장 중요

진리표를 그리는 과정도 중요하지만, 최종적으로는 맨 마지막 열의 패턴이 핵심이다.

• 모두 T → 동어 반복
• 모두 F → 자기 모순
• T/F 섞임 → 우연적 명제

또 두 명제를 비교할 때도 마지막 열끼리 비교하면 관계를 판정할 수 있다.

8.4. 요약

연결사	의미	참이 되는 경우
~p	부정	p가 거짓일 때
p∙q	연언	p와 q가 모두 참일 때
p∨q	선언	p, q 중 적어도 하나가 참일 때
p⊃q	조건	p가 참이고 q가 거짓인 경우를 제외한 나머지
p≡q	쌍조건	p와 q의 진리값이 같을 때