진리표 증명

명제 논리에서 어떤 논증이 타당한지 부당한지를 판별하기 위해 진리표를 사용하는 방법

1. 직접 진리표
2. 간접 진리표

목차

1. 직접 진리표
   1. 개념
   2. 절차
   3. 예시
      1. 문제 1
      2. 문제 2
      3. 문제 3
      4. 문제 4
      5. 문제 5
      6. 문제 6
      7. 문제 7
2. 간접 진리표
   1. 개념
   2. 절차
   3. 예시
      1. 문제 1
      2. 문제 2
      3. 문제 3
      4. 문제 4
      5. 문제 5
      6. 문제 6
      7. 문제 7

1. 직접 진리표

1.1. 개념

직접 진리표: 논증에 등장하는 모든 단순명제의 가능한 진리값 조합을 전부 나열한 뒤, 전제가 모두 참인 경우에 결론이 거짓인 행이 있는지 확인한다.

-> 전수조사형

1.2. 절차

1. 논증을 기호화한다.
   • 전제와 전제 사이는 ,
   • 전제와 결론 사이는 /
   • 예: J⊃E, ∼J / ∼E
2. 각 명제 아래에 진리표를 작성한다.
3. 진리표에서
   • 전제가 모두 참이고 결론이 거짓인 줄이 있으면 → 부당
   • 그런 줄이 하나도 없으면 → 타당

1.3. 예시

1.3.1. J⊃E, ∼J / ∼E

전제가 모두 참인 행을 찾는다.

이 행에서

• 전제 J⊃E = 참
• 전제 ∼J = 참
• 결론 ∼E = 거짓

따라서 전제가 모두 참인데 결론이 거짓인 경우가 존재한다.

J⊃E, ∼J / ∼E는 부당한 논증이다.

1.3.2. A⊃∼R, ∼R⊃K / A⊃K

전제 A⊃∼R, ∼R⊃K가 모두 참인 행을 확인한다.

전제가 모두 참인 모든 행에서 결론 A⊃K도 참이다.

A⊃∼R, ∼R⊃K / A⊃K는 타당한 논증이다.

1.3.3. ~(X∙~Y), ~(Y∙~X) / Y∨X

전제들이 모두 참인 행:

전제가 모두 참인데 결론이 거짓인 행이 있다.

부당

1.3.4. ~(H∙O), O∨~H / ~H

1.3.5. D≡E, F∨~E / F⊃D

1.3.6. B≡(C∨D), ~D∨C / B⊃C

1.3.7. B⊃(O∨R), ~(O∨~B) / B⊃R

2. 간접 진리표

2.1. 개념

간접 진리표: 모든 경우를 전부 나열하지 않고, 먼저 논증이 부당하다고 가정해서 출발한다.

즉, 전제는 모두 참, 결론은 거짓이라고 놓고, 그 가정이 모순 없이 유지될 수 있는지를 본다.

-> 반례 가능성 검사형

2.2. 절차

1. 논증을 기호화하여 한 줄로 쓴다.
2. 이 논증이 부당하다고 가정한다.
   • 전제들은 모두 참, 결론은 거짓으로 놓고 각 명제의 주논리연결사 아래에 진리값을 표시한다.
3. 계산을 진행했을 때
   • 모순 없이 끝까지 가능하면 → 부당
   • 어딘가에서 모순이 생기면 → 타당

2.3. 예시

2.3.1. ∼C⊃(D∨R), ∼B / R⊃C

결론 R⊃C가 거짓이려면:

R = T, C = F

전제 확인:

∼C = T
D∨R = T
∼C⊃(D∨R) = T
∼B = T 이므로 B = F

모순 없음.

부당

2.3.2. G⊃(H∨D), H⊃K, G / ∼D⊃K

결론 ∼D⊃K가 거짓이려면:

∼D = T, K = F
D = F

전제 G = T.

전제 G⊃(H∨D)가 참이고 G = T이므로:

H∨D = T

그런데 D = F이므로:

H = T

전제 H⊃K에서 H = T이면:

K = T

하지만 처음에 K = F였다.

K = T 이면서 K = F

모순.

타당

2.3.3. W⊃P, K⊃P / W⊃Q

결론 W⊃Q가 거짓이려면:

W = T, Q = F

전제 W⊃P가 참이고 W = T이므로:

P = T

전제 K⊃P는 P = T이면 항상 참이다.

예를 들어:

W = T, P = T, K = F, Q = F

모순 없음.

부당

2.3.4. D∙(E∨F), (D∙F)⊃∼(R∨S), (~R∨~S)⊃~(D∙E) / R≡S

R과 S의 진리값이 다름

R = T, S = F
또는
R = F, S = T

~R∨~S = T

~(D∙E) = T
D∙E = F

D = T
E∨F = T

E = F

F = T

D = T, F = T
D∙F = T

∼(R∨S) = T
R∨S = F
R = F, S = F

2.3.5. (A∨B)⊃C, C⊃(B∨R), A⊃(~Q⊃B), (Q⊃A)⊃~R / B≡C

B와 C의 진리값이 다름

B = F, C = T

B∨R = T

R = T

~R = F

Q⊃A = F

Q = T, A = F

A∨B = F
C = T

2.3.6. (P∨Q)⊃(R∙S), (~P∨~Q)⊃E / (~R∨~S)⊃E

~R∨~S = T
E = F

~P∨~Q = F

P = T, Q = T

P∨Q = T

R∙S = T
R = T, S = T

~R∨~S = F

2.3.7. M⊃N, ~O∨P, (N∨P)⊃J, ~J / ~(M∨O)

M∨O = T

J = F

N∨P = F

N = F, P = F

M = F

~O = T
O = F

M = F, O = F
M∨O = F