자연 연역

자연 연역: 정해진 추론 규칙을 사용해 논증의 타당성을 단계적으로 증명하는 방법이다.

1. 자연 연역이란

자연 연역: 논증이 왜 타당한지를 단순히 직관적으로 말하는 것이 아니라, 각 단계마다 규칙을 적용해 증명 형식으로 보이는 방법이다.

함축 규칙: 전제로부터 새로운 결론을 직접 이끌어내는 규칙
대치 규칙: 논리적으로 동치인 식으로 바꾸는 규칙

2. 명제 형식과 논증 형식

2.1. 명제 형식

명제 형식은 p, q, r, s ... 같은 소문자로 나타낸다. 여기에 구체적인 명제를 넣으면 대입례가 된다. 예를 들어 p∨q는 A∨B처럼 대입할 수 있지만, 구조가 다른 ~(D∨F) 같은 것은 같은 형식이 아니다.

2.2. 구체적 명제의 형식 찾기

복잡한 명제도 구조만 보면 하나의 형식으로 볼 수 있다. 예를 들어 (A⊃G)∙〔~(R∨O)≡~C〕 같은 식은 더 일반적인 형식으로 표현할 수 있다. 중요한 것은 문자 내용이 아니라 결합 구조이다.

2.3. 논증 형식

논증 형식은 전제와 결론의 구조를 일반화한 것이다. 예를 들어

A⊃B, B, 그러므로 A

는 일반 형식으로 보면

p⊃q, q / p

형태가 된다. 이처럼 자연 연역에서는 개별 문장보다 구조가 중요하다.

3. 함축 규칙 9가지

함축 규칙: 전제들이 참일 때, 반드시 참이 되는 결론을 이끌어내는 타당한 논증 형식이다.

3.1. 전건 긍정식 (Modus Ponens, MP)

형식:

p⊃q
p
∴ q

의미: 조건문 p⊃q와 그 전건 p가 주어지면 후건 q를 결론으로 낼 수 있다.

3.2. 후건 부정식 (Modus Tollens, MT)

형식:

p⊃q
~q
∴ ~p

의미: p이면 q인데, q가 아니면 p도 아니다. 조건문의 역방향 부정 추론이다.

3.3. 가정적 삼단논법 (Hypothetical Syllogism, HS)

형식:

p⊃q
q⊃r
∴ p⊃r

의미: 조건문 두 개가 연쇄적으로 연결될 때, 처음과 끝을 이어 새로운 조건문을 만든다. 조건문끼리 연결하는 규칙이다.

3.4. 선언적 삼단논법 (Disjunctive Syllogism, DS)

형식:

p∨q
~p
∴ q

의미: 둘 중 하나가 참인데 그중 하나가 거짓이면, 나머지 하나가 참이다. 선언문을 분해할 때 자주 사용한다.

3.5. 구성적 양도논법 (Constructive Dilemma, CD)

형식:

(p⊃q)∙(r⊃s)
p∨r
∴ q∨s

의미: 두 개의 조건문과 두 전건 중 하나가 참이라는 선언문이 주어지면, 두 후건 중 하나가 참이라는 결론을 얻는다. 여러 갈래 가능성을 한 번에 처리하는 규칙이다.

3.6. 연언지 단순화 (Simplification, Simp)

형식:

p∙q
∴ p

의미: 연언문 p∙q가 참이면 그 각 성분도 참이다. 필요한 부분만 꺼내는 규칙이다.

3.7. 연언 (Conjunction, Conj)

형식:

p
q
∴ p∙q

의미: 각각 참인 두 명제를 하나의 연언문으로 묶을 수 있다. 결론을 결합할 때 사용한다.

3.8. 선언지 첨가 (Addition, Add)

형식:

p
∴ p∨q

의미: 어떤 명제가 참이면, 그것이 포함된 선언문도 참이다. 전제에 없던 명제가 결론에 등장할 때 자주 쓴다.

3.9. 흡수규칙 (Absorption, Abs)

형식:

p⊃q
∴ p⊃(p∙q)

의미: p이면 q라는 조건문이 있으면, p이면 p와 q가 함께 참이라는 형태로 바꿀 수 있다. 조건문의 결론을 연언으로 확장하는 규칙이다.

LOGIC

[LOGIC] 자연 연역 1