논리적 연결사와 일상 언어의 기호화

1. 명제 논리란

명제 논리:

• 명제를 기본 단위로 삼는 기호 논리 체계이다.
• 논증의 형식을 파악하고, 그 논증이 타당한지 부당한지 판정하기 위해 사용된다.
• 구성 요소: 명제, 논리 연결사, 괄호

2. 단순 명제와 복합 명제

단순 명제(Simple Proposition)

• 다른 명제나 논리 연결사를 포함하지 않는 명제이다.
  • 단순 긍정문
• 보통 A, B, C, … 같은 영어 대문자로 나타낸다.

복합 명제(Compound Proposition)

• 하나 이상의 단순 명제와 하나 이상의 논리 연결사로 이루어진 명제이다.
  • 연언문, 선언문, 조건문, 부정문 등

3. 논리 연결사(Logical Connectives)

논리 연결사	기호	읽는 법	의미	예시
부정	~	아니다	어떤 명제를 부정함	~A : A가 아니다
연언	∙	그리고	두 명제가 모두 참임	A∙B : A이고 B이다
선언	∨	또는	두 명제 중 적어도 하나가 참임	A∨B : A 또는 B
조건	⊃	만약 …라면	앞의 명제가 참이면 뒤의 명제도 참임	A⊃B : 만약 A라면 B이다
쌍조건	≡	iff, 필요충분조건	두 명제가 서로 필요충분관계임	A≡B : A일 필요충분조건은 B이다

iff: if and only if

A	B	~A	A∙B	A∨B	A⊃B	A≡B
T	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T	F
F	F	T	F	F	T	T

• ~A : 참/거짓을 반대로 바꾼다.
• A∙B : 둘 다 참이어야 참
• A∨B : 하나 이상 참이면 참
• A⊃B : 참→거짓일 때만 거짓
• A≡B : 같으면 참, 다르면 거짓

4. 논리 연결사의 다양한 표기

• 부정: ~, ¬, -
• 연언: ∙, &, ∧
• 선언: ∨
• 배타적 선언: ⊕, ⊻
• 조건: ⊃, →
• 쌍조건: ≡, ↔

5. 일상 언어를 논리 기호로 바꾸는 기준

겉보기 표현이 달라도 논리적 기능이 같으면 같은 연결사로 기호화한다.

• 부정: …이 아니다, …은 사실이 아니다, …은 거짓이다 → ~
• 연언: 그리고, 그러나, 그럼에도 불구하고, 그런데, 더구나, 또한, 비록 …이지만 → ∙
• 선언: 혹은, 또는, 이거나 → ∨
• 조건: 만약 …라면, …이다 → ⊃
• 쌍조건: 만약 …라면, 그리고 오직 그런 경우에만 …이다, …은 …이기 위한 필요충분조건이다 → ≡

6. 괄호의 역할

• 괄호는 수식의 구조를 분명하게 하여 어떤 부분이 먼저 묶이는지를 표시한다.
• 괄호가 없으면 해석이 애매해질 수 있다.
• 논리식에서도 수학식처럼 괄호 위치에 따라 의미가 달라진다.

예시:

• (~A)∙B
• ~(A∙B)
• A⊃[~{B∨(~C⊃D)}]

7. 주 논리 연결사(Main Logical Connectives)

• 하나의 복합 명제에서 전체 구조를 대표하는 논리 연결사
• 가장 바깥에서 전체 문장을 연결하는 기호

예시:

• ~{A∨(~B⊃C)} → 부정문
• (E∨F)∙~(A⊃C) → 연언문
• C∨{A∨(~B⊃D)} → 선언문
• (D∙F)⊃~P → 조건문
• (H∨~U)≡(E⊃K) → 쌍조건문

8. 제대로 된 정식화(WFF, Well-Formed Formulas)

제대로 된 정식화:

• 명제 논리식은 구성 원리에 맞게 애매하지 않게 작성되어야 한다.
• 특히 셋 이상의 명제가 등장하면 두 부분으로 명확히 구분해야 한다.

예:

• ~{(A∨B)**~∙R**} (X)
• C∨{H⊃**(R≡G)}∙F** (X)
• A∙B∨C (X)
• A∙(B∨C) (O)
• (A∙B)∨C (O)

9. 구성 요소의 명칭

연언지 / 선언지

연언 기호나 선언 기호 양쪽에 놓인 구성요소를 말한다.

• A∙B
• A∨B

전건 / 후건

조건문 A⊃B에서

• A = 전건
• B = 후건

10. 필요조건과 충분조건

조건문 A⊃B에서

• A는 B의 충분조건
  • A가 참이면 B는 반드시 참이어야 한다. A가 충분해서 B에게 준다.
• B는 A의 필요조건이다.
  • B가 없으면 A도 성립할 수 없다. B는 필요하니까 A에게 받는다.

참고:

• 오직 A인 경우에만 B이다 → B⊃A

예시:

• 산소가 있어야만(A) 연소가 일어난다(B). B → A
• 산소가 있으면 연소가 일어난다. A → B
• 연소가 일어났으면 산소가 있는 것이다. B → A
• 연소가 일어나지 않았으면 산소가 없는 것이다. ~B → ~A
• 산소가 없으면 연소가 일어나지 않는다. ~A → ~B

11. 포괄적 선언과 배타적 선언

명제 논리의 선언 기호 ∨는 포괄적 선언만 나타낸다.
즉, 두 선언지가 둘 다 참인 경우도 허용한다.

포괄적 선언

• R∨B
• 둘 중 하나 또는 둘 다 참이면 참

배타적 선언

• (M∨C)∙~(M∙C)
• 둘 중 하나만 참일 때 참
• 둘 다 참이면 거짓

12. 필요충분조건

쌍조건문 A≡B:

• A와 B는 서로 필요조건이자 충분조건. → 필요충분조건
• A가 참이면 B도 참, B가 참이면 A도 참
• (A⊃B)∙(B⊃A)
• 만약 A라면, 그리고 오직 그 경우에만 B이다는 결국 A이면 B이고 B이면 A라는 뜻이므로 A≡B가 된다.

13. 기호화할 때 주의할 점

비슷해 보이는 문장도 의미가 다르면 기호화가 달라진다.

예를 들어:

민정이나 정모는 범인이 아니다

• ~M∨~J (X)
• ~(M∨J) (O)
• ~M∙~J (O)

즉, 자연어는 애매할 수 있으므로 문장의 정확한 의미를 먼저 파악해야 한다.