자연 연역 2
자연 연역: 정해진 추론 규칙을 사용해 논증의 타당성을 단계적으로 증명하는 방법이다.
목차
1. 대치 규칙의 의미
대치 규칙: 논리적 동치(logical equivalence) 인 두 식을 서로 바꾸어 쓸 수 있게 해 주는 규칙이다.
2. 10가지 대치 규칙
2.1. 드 모르간의 규칙 (De Morgan’s Rule, DM)
~(p∙q) ∷ (~p∨~q)~(p∨q) ∷ (~p∙~q)
의미:
- “p와 q가 모두 참인 것은 아니다”는 “p가 거짓이거나 q가 거짓이다”와 같다.
- “p 또는 q가 참인 것은 아니다”는 “p도 거짓이고 q도 거짓이다”와 같다.
2.2. 교환법칙 (Commutativity, Com)
(p∨q) ∷ (q∨p)(p∙q) ∷ (q∙p)
의미:
- 선언문과 연언문은 순서를 바꾸어도 뜻이 변하지 않는다.
예시:
A∨B에서B∨A로 바꾼 뒤 선언적 삼단논법을 적용해 결론A를 도출할 수 있다.
2.3. 결합법칙 (Associativity, Assoc)
p∨(q∨r) ∷ (p∨q)∨rp∙(q∙r) ∷ (p∙q)∙r
의미:
- 괄호의 묶는 방식이 달라져도 진리값은 달라지지 않는다.
2.4. 배분법칙 (Distribution, Dist)
p∙(q∨r) ∷ (p∙q)∨(p∙r)p∨(q∙r) ∷ (p∨q)∙(p∨r)
의미:
- 연언과 선언이 서로 분배될 수 있다.
- 복합 명제를 다른 형태로 변형하여 추론 규칙을 적용하기 쉽게 만든다.
2.5. 이중 부정 (Double Negation, DN)
p ∷ ~~p
의미:
- 어떤 명제가 참이라는 것은 그것이 거짓이 아님과 동치이다.
2.6. 대우 규칙 (Transposition, Trans)
(p⊃q) ∷ (~q⊃~p)
의미:
- “p이면 q이다”는 “q가 거짓이면 p가 거짓이다”와 동치이다.
2.7. 단순 함축 (Material Implication, Impl)
(p⊃q) ∷ (~p∨q)
의미:
- 조건문을 선언문 형태로 바꾸는 규칙이다.
- “p이면 q이다”는 “p가 거짓이거나 q가 참이다”와 같다.
2.8. 단순 동치 (Material Equivalence, Equiv)
(p≡q) ∷ (p⊃q)∙(q⊃p)(p≡q) ∷ (p∙q)∨(~p∙~q)
의미:
- 동치문은 두 조건문의 결합으로도, 두 명제가 함께 참이거나 함께 거짓인 경우의 선언으로도 바꿀 수 있다.
2.9. 수출입 규칙 (Exportation, Exp)
[(p∙q)⊃r] ∷ [p⊃(q⊃r)]
의미:
- 조건문의 전건에 연언이 있을 때, 이를 중첩 조건문으로 바꿀 수 있다.
2.10. 동어반복 (Tautology, Taut)
p ∷ (p∨p)p ∷ (p∙p)
의미:
- 같은 명제를 반복한 선언 또는 연언은 원래 명제와 동치이다.
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