기하 연산

1. 정의

이동(Translation)
- \[\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}\]
회전(Rotation, 각도 $\theta$)
- 길이·각도 보존(등거리).
- \[\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}\]
스케일(Scaling): 축 방향 길이만 바뀜, 축 혼합 없음.
- \[\begin{bmatrix}s_x&0&0\\ 0&s_y&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\]
- Uniform Scale
- Nonuniform Scale
시어(Shear/Skew): 회전 × 스케일 × 회전
- 축을 서로 섞는 선형변환(각도 변화), 평행성은 보존하지만 모양이 기울어짐.
- \[\begin{bmatrix} 1 & k_x & 0\\ k_y & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]
대칭(Reflection): 축에 대해 부호 반전(예: x-축 반사)
- $\mathrm{diag}(1,-1,1)$

유클리드/강체(Rigid/Euclidean): 회전+이동 (거리·각도 보존, 3 DoF)
- 거리, 각도, 면적(2D) 보존
- 최소 2–3 쌍 대응점(중심 정규화 권장)
- \[\mathbf{x}'=\mathbf{R}\mathbf{x}+\mathbf{t},\ \mathbf{R}\in SO(2)\]
유사(Similarity): Rigid + 등방 스케일(비율 보존, 4 DoF)
- 각도, 비율 보존(거리·면적은 스케일에 따라 변함)
- 최소 2–3 쌍 대응점(중심 정규화 권장)
- \[\mathbf{x}'=s\mathbf{R}\mathbf{x}+\mathbf{t}\]
아핀(Affine): 선성 + 이동(평행성 보존, 6 DoF)
- 직선·평행성·면적 비율 보존(각도·길이 불변 아님)
- 최소 3 쌍(6방정식)
- \[\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ 1 \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} a_{11 } &a_{12} & t_x\\ a_{21} & a_{22} & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}_{\text{2×3 추정 시 자주 사용}} \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}\]
투영/사영(Projective, Homography): 직선 보존(평행성은 불보존, 8 DoF)
- 직선만 보존(평행성·길이·각도 불변 아님)
- 최소 4 쌍(8방정식)
- \[\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ w' \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} h_{11}&h_{12}&h_{13}\\ h_{21}&h_{22}&h_{23}\\ h_{31}&h_{32}&1\end{bmatrix}}_{\mathbf{H}} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}, \quad (x'/w',y'/w')\]

동차 좌표: $\dot{x}=(\,y\;\; x\;\; 1\,)$
- 예: $(3,5)\to(3,5,1)$
동차행렬: $(x,y)\to(x,y,1)$로 확장하면 2D 변환을 3×3 행렬 하나로 통일적으로 표현·조합 가능.
e.g. 평행이동 행렬(행-벡터 우측곱 규약): T(3,2)
- \[\dot{H}=T(3,2)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\]
- \[\dot{x}'=(\,y'\;\; x'\;\; 1\,)= \dot{x}\,\dot{H}= (\,y\;\; x\;\; 1\,) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0\\ a_{31} & a_{32} & 1 \end{pmatrix}\]
- \[y' = a_{11}y + a_{21}x + a_{31}, \qquad x' = a_{12}y + a_{22}x + a_{32}\]
예제:
동차좌표 사용하는 이유: 여러 변환을 곱으로 결합해 한 번에 적용 (계산 효율↑)

전방(forward) 매핑: 원 영상의 픽셀을 변환해 타깃 위치에 찍기
- 구멍(hole)/겹침·에일리어싱 심함.
후방(backward) 매핑 타깃의 각 픽셀에서 역변환으로 원 영상의 실수 좌표를 찾아 보간
- 역행렬을 미리 구해 두고 후방 매핑으로 샘플링한다
- 안티에일리어싱 효과.

왜 보간이 필요한가: 실수 좌표를 정수로 반올림하면 에일리어싱 발생
- 주변 화소로 보간해 완화 → 거리에 대한 비율
보간식
- 1차원 보간식 유도: $f(x’)=(1-\alpha)\,f(x)+\alpha\,f(x+1)$
- 2차원 보간식 유도: $\begin{aligned} f(y, x') &= (1-\alpha) f(y,x) + \alpha f(y, x+1),\\ f(y+1, x') &= (1-\alpha) f(y+1,x) + \alpha f(y+1, x+1),\\ f(y', x') &= (1-\beta) f(y, x') + \beta f(y+1, x') \end{aligned}$
방법과 비교:
- 최근접(nearest): 가장 빠르나 블록/톱니 아티팩트.
- 양선형(bilinear): 4이웃 가중 평균(균형 잡힌 화질/속도)
- 양삼차(bicubic): 16이웃, 부드러움/에지 보존↑(연산량↑).

해상도를 줄이거나 늘리는 연산
- 다양한 응용
  - 멀티미디어 장치에 디스플레이
  - 물체 크기 변환에 강인한 인식 등
  - 스케일이 다양한 물체 처리 가능
- 업샘플링과 다운샘플링
피라미드
- 피라미드 구축 연산식: $f_k(j,i) = f_{k-1}\!\left(\frac{j}{r},\,\frac{i}{r}\right), \qquad r=\frac{1}{2},\; 1\le k \le q$
Burt & Adelson 방법
- 수식: $f_k(j,i) = \sum_{y=-2}^{2}\sum_{x=-2}^{2} w(y,x)\; f_{k-1}\!\left(\frac{j}{r}+y,\; \frac{i}{r}+x\right), \qquad r=\frac{1}{2},\; 1\le k \le q$
- 모든 화소가 50%씩 공헌